关于有限单元法中节（结）点与积分点的几点释疑

节点和积分点是有限单元法（FEM）的两个基本概念，初涉有限元计算的同志往往在这点上产生混淆，假设导师面试的时候，问单元应力是什么，若回答不慎，将贻笑大方，得不偿失。本文试图以简略易懂的说法来阐述节点和积分点的区别。

1.节点位移是有限元法的基本未知量。节点构筑了问题域的几何离散化形状，节点是形函数的零点，通常形函数是以节点为依据进行假设的。形函数决定了单元内部各点运动的位移模式（常用帕斯卡三角形来选择单元位移模式），这样就形成了数学上所说的插值。

有限元法的原理就是将问题域分割成N多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似表达单元的真实位移，将各单元再连接起来，就可以近似描述整个问题域的运动。因此，有限元法从根本上就是精确的，而不是准确的。

2.积分点是单元进行数值积分的已知量。有限元法中一般采用高斯积分，但是积分方法不限于高斯积分，如果有人用了Irons积分或者Hammer积分，请不要惊讶。在形成单元刚度矩阵和进行节点应力磨平的时候，需要高斯积分。

以等参单元为例，其刚度矩阵

老师授课时一般对常应力单元进行推导，而常应力单元只有一个积分点，被积函数是常数，因此体现不出高斯积分来。很多老师对高斯积分在单元刚度矩阵的应用不予细述，导致部分同学对单元积分点认识不足。

3.单元应力指的是高斯积分点的应力，而非节点上的应力。有了位移模式，再通过虚功原理得到单元刚度矩阵，然后聚合总刚，求解平衡方程，就会把基本未知量——节点位移求出来了。通过节点位移得到单元应变结果，利用物理方程求得单元应力结果。

在等参元中，单元中n+1阶(n=p-m)高斯积分点上的应变或应力近似解比其它部位具有较高的精度，因此我们称(n+1)阶高斯积分点是等参元中的最佳应力点。因此有限元法中是以通过节点位移根据位移模式推出高斯点位移，然后求得应变和应力结果（苦逼的常应力单元，单元内各点应变、应力是一样的，so，你懂的）。

4.高斯点是等参单元内最佳应力点。高斯积分点虽然是单元内最佳应力点，但在节点上并非最佳，节点应力有一种Newton-cotes积分方法。因此，有的FEM程序会采用其他积分方法以获得单元边界或者节点上的精确应力。

5.节点力是高斯点应力在单元内积分，再累加其他单元的相同节点结果得到节点力;而节点应力是通过高斯点应力外推通过平均各单元外推应力而得（应力磨平）。

6.常见单元的高斯积分点位置示意。

附本文word文档：

应力磨平.jpg