Gamma函数的那些事儿（1）

众所周知，阶乘这个运算本来是用于简化形如 n(n-1)(n-2)dots3 imes2 imes1 的乘积的，但是经过几百年的发展，这个运算拓展到了复数域的，并拥有了新的名字——Gamma函数。

Gamma函数有很多定义，其中我们今天就来尝试从它的积分定义中推出其它定义：

Gamma(z)=int_0^infty t^{z-1}e^{-t}mathrm{d}t \

其中 zin{zinmathbb{C}|Re(z)>0}

倘若我们对这个函数分部积分，我们可以得到Gamma函数之间的关系：

egin{aligned} Gamma(z)&=int_0^infty t^{z-1}e^{-t}mathrm{d}t \ &=left.t^{z-1}(-e^{-t}) ight|^infty_0+(z-1)int_0^infty t^{z-2}e^{-t}mathrm{d}t \ &=(z-1)int_0^infty t^{(z-1)-1}e^{-t}mathrm{d}t \ &=(z-1)Gamma(z-1) end{aligned} \

如果我们令z=1，则

Gamma(1)=int_0^infty e^{-t}mathrm{d}t=left.-e^{-t} ight|^infty_0=1 \

结合第一个结论，对于 zinmathbb{Z}_+ ，存在：

Gamma(z)=(z-1)(z-2)dots2 imes1 \

于是我们得到Gamma函数与阶乘的联系 Gamma(z)=(z-1)!

我们知道 e^x=lim_{n oinfty}left(1+{xover n} ight)^n ，所以我们可以研究一下积分 int_0^infty t^{z-1}e^{-t}mathrm{d}t 里的被积函数 f(t)=t^{z-1}e^{-t} 。倘若我们定义设函数序列 f_n(t):[0,+infty)mapstomathbb{C} 并且

f_n(t)= egin{cases} t^{z-1}left(1-{tover n} ight)^n & tin[0,n] \& ext{otherwise} end{cases}

很明显我们可以发现 lim_{n oinfty}f_n(t)=f(t)，我们又知道该函数序列的实部和虚部分别满足 |Re[f_n(t)]|le t^{Re(z)-1}e^{-t} 以及 |Im[f_n(t)]|le t^{Re(z)-1}e^{-t} 。所以根据控制收敛定理（Dominated convergence theorem），我们得到：

lim_{n oinfty}int_0^infty f_n(t)mathrm{d}t=int_0^infty f(t)mathrm{d}t \

又因为 f_n(t)equiv0spaceforallspace t otin[0,n] ，所以 int_0^infty f_n(t)mathrm{d}t=int_0^n f_n(t)mathrm{d}t ，于是：

lim_{n oinfty}int_0^n f_n(t)mathrm{d}t=int_0^infty f(t)mathrm{d}t \

我们定义 Gamma_n(z)=int_0^n t^{z-1}left(1-{tover n} ight)^nmathrm{d}t 。根据上面的结论，我们进一步得出：

lim_{n oinfty}Gamma_n(z)=lim_{n oinfty}int_0^n t^{z-1}left(1-{tover n} ight)^nmathrm{d}t=int_0^infty t^{z-1}e^{-t}mathrm{d}t=Gamma(z) \

现在我们就可以转而研究 Gamma_n(z) 的性质了。如果我们对积分 int_0^n t^{z-1}left(1-{tover n} ight)^nmathrm{d}t 进行如下换元： t=xn,spacemathrm{d}t=nmathrm{d}x ，就会导出：

int_0^n t^{z-1}left(1-{tover n} ight)^nmathrm{d}t=int_0^1 n^{z-1}x^{z-1}(1-x)^nnmathrm{d}x=n^zunderbrace{int_0^1 x^{z-1}(1-x)^nmathrm{d}x}_{I_{n,z}}

现在我们再通过分部积分研究一下 I_{n,z} 的性质：

egin{aligned} I_{n,z} &=int_0^1(1-x)^nmathrm{d}left(x^zover z ight) \ &=left.x^z(1-x)^nover z ight|^1_0-int_0^1(-n)(1-x)^{n-1}{x^zover z}mathrm{d}x \ &=0+{nover z}int_0^1x^{(z+1)-1}(1-x)^{n-1}mathrm{d}x \ &={nover z}I_{{n-1},{z+1}} end{aligned}

得到递推式后，我们可以通过去求 I_{0,z+n} 来得到 I_{n,z} 的通式：

I_{0,z+n}=int_0^1 x^{z+n-1}mathrm{d}x=left.x^{z+n}over z+n ight|^1_0={1over z+n} \

所以：

I_{n,z}={n(n-1)(n-2)dots3 imes2over z(z+1)(z+2)dots(z+n-1)(z+n)}={n!over z(z+1)(z+2)dots(z+n-1)(z+n)}

所以 Gamma_n(z)={n^zn!over z(z+1)(z+2)dots(z+n-1)(z+n)} ，根据之前得到的 Gamma(z)=lim_{n oinfty}Gamma_n(z) ，我们得到了Gamma函数的另一个定义：

Gamma(z)=lim_{n oinfty}{n^zn!over z(z+1)(z+2)dots(z+n-1)(z+n)}

我们发现 n^z=left({2over 1}cdot{3over 2}cdots{nover n-1} ight)^z ，又因为 lim_{n oinfty}{n+1over n}=1 ，极限可以改写成

egin{aligned} Gamma(z) &=lim_{n oinfty}n!{left(2over1 ight)^z imesleft(3over2 ight)^z imesdots imesleft(nover n-1 ight)^zover z(z+1)(z+2)dots(z+n-1)(z+n)}cdotleft(n+1over n ight)^z \ &=lim_{n oinfty}{1over z}prod_{k=1}^nleft(kover z+k ight)left(k+1over k ight)^z=lim_{n oinfty}{1over z}prod_{k=1}^nleft(1+{1over k} ight)^zleft(1+{zover k} ight)^{-1} end{aligned}

最后我们得到了Gamma的欧拉乘积形式：

Gamma(z)={1over z}prod_{k=1}^infty{left(1+{1over k} ight)^zover 1+{zover k}} \

现在我们再回来观察一下极限，可以根据Gamma函数恒不为0的性质反转等式两侧的分子分母，即：

{1overGamma(z)}=lim_{n oinfty}{z(z+1)(z+2)dots(z+n-1)(z+n)over n^zn!}

现在右侧可以通过乘积符号 prod 我们可以简化成

{1overGamma(z)}=lim_{n oinfty}zn^{-z}prod_{k=1}^n{z+kover k}=lim_{n oinfty}ze^{-zln(n)}prod_{k=1}^nleft(1+{zover k} ight)

定义 H_n=sum_{k=1}^n{1over k} 。于是

egin{aligned} {1overGamma(z)} &=lim_{n oinfty}ze^{-zln(n)}prod_{k=1}^nleft(1+{zover k} ight) \ &=lim_{n oinfty}zexpleft[-z(ln(n)-H_n+H_n) ight]prod_{k=1}^nleft(1+{zover k} ight) \ &=lim_{n oinfty}zexpleft[-z(ln(n)-H_n) ight]exp[-zH_n]prod_{k=1}^nleft(1+{zover k} ight) \ end{aligned}

我们根据指数函数性质 e^ae^b=e^{a+b} 可以得出 exp[-zH_n]=prod_{k=1}^ne^{-{zover k}} ，所以

egin{aligned} {1overGamma(z)}&=lim_{n oinfty}zexpleft[-z(ln(n)-H_n) ight]exp[-zH_n]prod_{k=1}^nleft(1+{zover k} ight) \ &=lim_{n oinfty}zexp[z(H_n-ln(n))]prod_{k=1}^nleft(1+{zover k} ight)e^{-{zover k}} end{aligned}

因为等式左侧必然收敛我们可以确定乘积 lim_{n oinfty}prod_{k=1}^nleft(1+{zover k} ight)e^{-{zover k}} 收敛。又因为指数函数连续，我们可以进一步简化公式：

egin{aligned} {1overGamma(z)} &=lim_{n oinfty}zexp[z(H_n-ln(n))]prod_{k=1}^nleft(1+{zover k} ight)e^{-{zover k}} \ &=zexp[zlim_{n oinfty}(H_n-ln(n))]prod_{k=1}^inftyleft(1+{zover k} ight)e^{-{zover k}} \ end{aligned}

现在我们可以引入欧拉常数gamma=lim_{n oinfty}[H_n-ln(n)] ，即欧拉—马斯克若尼常数（Euler—Mascheroni constant）：

{1overGamma(z)}=zexp[zlim_{n oinfty}(H_n-ln(n))]prod_{k=1}^inftyleft(1+{zover k} ight)e^{-{zover k}}=ze^{gamma z}prod_{k=1}^inftyleft(1+{zover k} ight)e^{-{zover k}}

经过整理，我们得到了Gamma函数的Weierstrass定义：

{1overGamma(z)}=ze^{gamma z}prod_{k=1}^inftyleft(1+{zover k} ight)e^{-{zover k}} \

经过了大量的推导，我们先后推出了Gamma函数的四种定义：

通过Gamma函数的其它定义，我们可以发现更多的性质，比如：Gamma函数在z为非正整数时不连续，以及关于Gamma函数导数的一些性质。敬请期待下一期——《Gamma函数的那些事儿（2）——欧拉常数与Digamma函数》